Qué es una integral

Calculadora integral

Relleno con mantequilla de cacahuete, el apio es el aperitivo por excelencia para después del colegio; cortado en dados, aporta un crujido esencial a las ensaladas de pollo y patatas; untado con mantequilla, es parte integral del relleno de Acción de Gracias.

Sentarse en la hierba... viendo pasar los trenes de mercancías por el dique a las dos de la mañana, bebiendo una cerveza y escuchando la música que sale del club, es una parte integral de toda la experiencia.

Tanto Croot como Bloom dividieron la integral en partes y demostraron que un término principal era grande y positivo, y que todos los demás términos (que a veces podían ser negativos) eran demasiado pequeños para marcar una diferencia significativa.

Definición integral español

El cálculo integral ayuda a encontrar las antiderivadas de una función. Estas antiderivadas también se llaman integrales de la función.  El proceso de encontrar la antiderivada de una función se llama integración. El proceso inverso a encontrar las derivadas es encontrar las integrales. La integral de una función representa una familia de curvas. Encontrar tanto las derivadas como las integrales constituye el cálculo fundamental. En este tema, cubriremos los fundamentos de las integrales y la evaluación de integrales.

Las integrales son los valores de la función encontrados por el proceso de integración. El proceso de obtener f(x) de f'(x) se llama integración. Las integrales asignan números a las funciones de forma que describen problemas de desplazamiento y movimiento, problemas de área y volumen, etc. que surgen al combinar todos los datos pequeños. Dada la derivada f' de la función f, podemos determinar la función f. Aquí, la función f se llama antiderivada o integral de f'.

La integral es la representación del área de una región bajo una curva. Nos aproximamos al valor real de una integral dibujando rectángulos. Una integral definida de una función puede representarse como el área de la región delimitada por su gráfica de la función dada entre dos puntos de la recta. El área de una región se halla dividiéndola en rectángulos verticales delgados y aplicando los límites inferior y superior, se suma el área de la región. Especificamos una integral de una función sobre un intervalo en el que está definida la integral.

Integral definida

Este tipo de integral se refiere a valores numéricos. Se utiliza en matemáticas puras, matemáticas aplicadas, estadística, ciencias y muchas más. Sin embargo, el concepto básico de una integral definida describe áreas.

Quizá te preguntes qué significa #"d "x#. Formalmente, no significa nada, sino que te dice respecto a qué variable estás diferenciando o, en nuestro caso, te dice la variable de integración.

Si la gráfica de la función está por encima del eje x, se dice que el área neta es positiva. Si está por debajo, el área neta es negativa. Esto puede ser más difícil de entender al principio. Se visualiza a continuación:

donde #Deltax_i = x_i-x_(i-1)# y #x_i#, como se menciona en el vídeo anterior, representan algunas "marcas" en el eje x. Una posible solución es dejar que #x_i=i"/"n#. Entonces #Deltax_i = 1"/"n#. Aunque esto suele ser más sencillo, puede que no sea la forma más fácil o rápida de calcular integrales.

Si recordamos el caso general formado anteriormente, sobre la integral de #x^n# desde #0# hasta #tau#; pues bien, esto se llama la regla de la potencia. Hay muchas, muchas maneras diferentes fórmulas para integrales, que no voy a cubrir en esta respuesta. Esto es sólo una idea muy general de lo que son las integrales.

Integral de superficie

Supongamos que nos dan una función y queremos determinar el área bajo su gráfica en un intervalo. Podríamos adivinar, pero ¿cómo podríamos averiguar el área exacta? A continuación, utilizando algunas ideas ingeniosas, definimos realmente dicha área y mostramos que utilizando lo que se denomina la integral definida podemos, efectivamente, determinar el área exacta bajo una curva.

El objetivo de la integral definida es aproximar esta área con un número finito de rectángulos. Como podemos calcular fácilmente el área de los rectángulos, obtenemos una estimación del área bajo la gráfica. Si utilizamos un número mayor de rectángulos de menor tamaño, esperamos una mayor precisión con respecto al área bajo la curva y, por tanto, una mejor aproximación. De alguna manera, parece que podríamos utilizar nuestro viejo amigo de la diferenciación, el límite, y "aproximar" un número infinito de rectángulos para obtener el área exacta. Veamos tal idea con más detalle.

Para calcular la integral utilizaremos la suma de Riemann a la derecha. (Podríamos haber utilizado la suma de la izquierda en su lugar, y esto daría la misma respuesta al final). Para la suma a la derecha los puntos de muestra son